domingo, 2 de março de 2014

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea

Introdução

Para o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem basta dividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo de tempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de São Paulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, após percorrer
320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da estrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.

Vamos agora ampliar esta definição, considerando a trajetória descrita por um móvel, em relação a um certo referencial. Seja s1 o espaço do móvel num instante t1 e s2 seu espaço num instante posterior t2. Seja Δs = s2 - s1 a variação de espaço no intervalo de tempo Δt = t2 - t1.

A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo Δt para uma variação de espaço Δs qualquer. Para o cálculo de Δs devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendo inversão no sentido do movimento.

Velocidade escalar média:

vm = Δs/Δt

Sendo Δs > 0, isto é, s2 > s1, resulta Vm > 0. Se não houver inversão no sentido do movimento a variação de espaço Δs coincide com a distância efetivamente percorrida pelo móvel ao longo da trajetória (figura 1).

Figura 1

Se Δs < 0, temos  Vm < 0  (figura 2). 

Figura 2

No caso em que Δs = 0, resulta Vm = 0 (figura 3)

Figura 3

Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/h
Sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :
1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/h

Vamos analisar alguns exemplos:

Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outro ônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cinco horas. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.

Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar a trajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).

Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído o marco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeiro caberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.

Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, o primeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-São Paulo.

Veículo 1 => São Paulo-Rio


Espaço da partida s1 = 0  (partiu da origem do espaços, km 0)
Espaço da chegada  s2 = 400 km
Variação de espaço: Δs = s2 - s1 = 400 km – 0 = 400 km
Duração da viagem Δt = 5h
Cálculo da velocidade escalar média vm
vmΔs/Δt  => vm = 400 km/5 h => vm = 80 km/h

Veículo 2 => Rio – São Paulo


Espaço da partida s1 = 400 km
Espaço da chegada  s2 = 0
Variação de espaço:  Δs = s2 - s1 = 0 - 400 km = -400 km
Duração da viagem  ∆t = 5h
Cálculo da velocidade escalar vm
vmΔs/Δt => vm = -400 km/5 h => vm = -80 km/h

Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidade escalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.

Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo e orientando a trajetória de São Paulo para o Rio.

Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada, chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média do ônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em 6,5 horas?


Espaço da partida s1 = 0
Espaço da chegada s2 = 260 km
Variação de espaço: Δs = s2 - s1 = 260 km - 0 = 260 km
Duração da viagem - Intervalo de tempo (t) => ∆t = 6,5 h
Cálculo da velocidade escalar  vm
vmΔs/Δt => vm = 260 km/6,5 h => vm = 40 km/h

Observação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto como origem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições inicial e final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.

No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entre São Paulo e Resende resultou em 40 km/h.

Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajeto encontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende as distâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a uma velocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é a velocidade escalar média definida em Física.

Algumas considerações:

1) Quando, num determinado percurso, o móvel não inverte o sentido do movimento e se desloca no sentido em que a trajetória foi orientada, a distância efetivamente percorrida (d) e a variação de espaço (Δs) são numericamente iguais.

2) No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes da partida e da chegada.

Veja este exemplo:

Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às 13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante uma hora.

Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o que aconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partida e a chegada.

A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantes de partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda que o almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!


Velocidade escalar instantânea:

A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida como sendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo Δt extremamente pequeno, com Δt tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.

O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica a velocidade do carro em cada instante.


Exercícios Básicos

Exercício 1:
Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalar média do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.

Resolução:
Como o atleta percorre 100 m sempre no mesmo sentido e, vamos admitir, no sentido de orientação da trajetória, concluímos que a variação de espaço 
coincide com a distância percorrida. Da definição de velocidade escalar média, vem: 
vm = Δs/Δt => vm = 100 m/10 s => vm = 10 m/s
Sabemos que 1m/s corresponde a 3,6 km/h. Logo, 10 m/s correspondem a
36 km/h. Assim, a resposta é 10 m/s e 36 km/h


Exercício 2:
A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quanto tempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?

Resolução:
Vamos considerar que a caminhada ocorre sempre no mesmo sentido e no sentido que a trajetória foi orientada. Nestas condições, a variação de espaço coincide com a distância percorrida pela pessoa.
vm = Δs/Δt => 1,5 = 3000 m/Δt => Δt = 2000 s = 33min 20s


Exercício 3:
É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t2, sendo o espaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidade escalar média do móvel entre os instantes:

a) 1 s e 2 s
b) 2 s e 4 s
c) 5 s e 6 s

Resolução:

Vamos calcular os espaços do móvel nos instante 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s e 6 s


t1 = 1 s => s1 = 8 - 6.1+(1)2 => s1 = 3 m
t2 = 2 s => s2 = 8 - 6.2+(2)2 => s2 = 0
t3 = 3 s => s3 = 8 - 6.3+(3)2 => s3 = -1 m
t4 = 4 s => s4 = 8 - 6.4+(4)2 => s4 = 0
t5 = 5 s => s5 = 8 - 6.5+(5)2 => s5 = 3 m
t6 = 6 s => s6 = 8 - 6.6+(6)2 => s6 = 8 m

Para visualizarmos as posições ocupadas pelo móvel nos diversos instantes, vamos considerar a trajetória retilínea. Temos:


Cálculo das velocidades escalares médias:

a) vmΔs/Δt = (s2-s1)/(t2-t1) => vm = (0-3)/(2-1) => vm = -3 m/s
b) vmΔs/Δt = (s4-s2)/(t4-t2) => vm = (0-0)/(4-2) => vm = 0
c) vmΔs/Δt = (s6-s5)/(t6-t5) => vm = (8-3)/(6-5) => vm = +5 m/s

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