Equilíbrio Estático de um corpo extenso

Equilíbrio Estático de um corpo extenso
Uma barra homogênea de comprimento 4 m e de peso P = 12 N está apoiada nos pontos A e B, conforme a figura.

Vamos determinar as intensidades das forças F_A e F_B que os apoios exercem na barra. Na figura, a seguir, estão_Brepresentadas as forças que agem na barra. Note que o peso P está aplicado no centro geométrico da barra pois_Bela é homogênea.

Podemos impor que a força resultante é nula, ou seja:

F_A + F_B = P => F_A + F_B = 12 (1)

A condição força resultante nula deve ser imposta para que a barra não sofra translação. Entretanto, a barra pode girar. Tome, por exemplo, o ponto de apoio B como referência. A força FA tende a girar a barra em torno de B, no sentido horário e o peso P tende a girar a barra em torno de B, no sentido anti-horário.

A grandeza que mede a eficiência de uma força em produzir rotação chama-se momento e é dada pelo produto da intensidade da força pela distância do ponto considerado (no caso o ponto B) até a linha de ação da força. Para que a barra não gire impomos que o momento de F_A em torno de B (no sentido horário) deve ser igual ao momento de P em torno de B (no sentido anti-horário).

M_FA = M_P => F_A.d_A = P.d => F_A.3 = 12.1 => F_A = 4 N.
De (1) resulta: F_B = 8 N

Resumindo: para o equilíbrio de um corpo extenso devemos impor:

1º) Equilíbrio de Translação: 
Força resultante nula. Esta condição é imposta considerando a soma das intensidades das forças para cima igual à soma das  intensidades das forças para baixo. E a soma das intensidades das forças para a direita igual à soma das intensidades das forças para a esquerda. 

2º) Equilíbrio de rotação: 
Neste caso, escolhemos um ponto e impomos que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário.


Exercícios básicos
 
Exercício 1:
a) Calcule o momento da força F de intensidade 10 N, em relação ao ponto A?
b) Explique por que o momento da força f_A aplicada no ponto A, em relação a esse ponto, é nulo.

Resolução:

a) M_F = F.d = 10 N.2 m = 20 N.m
b) M_FA = 0, pois a distância de A à linha de ação de f_A é zero.

Exercício 2:
Na figura uma barra homogênea apoiada num ponto A e presa pelo ponto B ao teto por um fio ideal, está em equilíbrio na posição horizontal. A barra tem peso P = 90 N.
a) Represente as forças que agem na barra.
b) Calcule as intensidades da força de apoio e da força de tração no fio.

Resolução:

a)

b) Condições de equilíbrio:

1ª) F_A + T = P  =>  F_A + T = 90 (1)

2ª) Tomando o ponto A como referência:

M_P  = M_T  =>  90.2 = T.4  =>  T = 45 N

De (1): F_A = 45 N

Exercício 3:
Uma gangorra tem braços desiguais. No extremo A está sentado João de peso 500 N. Qual é o peso de Maria sentada no extremo B, para que a gangorra fique em equilíbrio na posição horizontal? Considere a gangorra articulada no ponto O e de peso desprezível.

Resolução:


Tomando o ponto O como referência:

M_PJ = M_PM  =>  500.2 = P_M.4  =>   P_M = 250 N

Exercício 4:
A barra homogênea da figura tem peso P = 120 N. A polia é ideal. Determine o peso do bloco e a intensidade da força que o apoio A exerce na barra, estando o sistema em equilíbrio.

Resolução:

Condições de equilíbrio:

1ª ) F_A + T = P  =>  F_A + T = 120 (1)

2ª) Tomando o ponto A como referência:

M_P = M_T  =>  120.3 = T.4  =>  T = 90 N
 
Mas o peso do bloco é igual à intensidade da força de tração no fio, isto é:

P = T = 90 N
 
De (1): F_A = 30 N
Exercício 5:
A barra homogênea de peso P = 30 N está_Aarticulada no ponto A. O fio DC é ideal e forma com a barra, na_Aposição horizontal, um ângulo de 30º. O bloco tem peso P_Bx=x10 N. Sendo sen 30º = 1/2 e cos 30º = √3/2, determine a intensidade_Ada força de tração no fio e as componentes X_A e Y_A da força que a articulação exerce na barra.

Resolução: 

Condições de equilíbrio:

1ª) Y_A + T.sen 30º = P + P_B  =>  Y_A + T.(1/2) = 30 + 10 (1)
X_A = T.cos 30º => X_A  = T.(√3/2) (2)

2ª) Tomando o ponto A como referência:

M_P + M_PB = M_Tsen30º  =>  30.3 + 10.6 = T.(1/2).4  =>  T = 75 N

De (1): Y_A = 2,5 N
De (2): X_A = 37,5.√3 N
 Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(PUC-MG)
Uma haste, com massa uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, encontra-se em equilíbrio, na horizontal, apoiada no ponto P, tendo duas massas M e M’ nas suas extremidades, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, é CORRETO afirmar:

a) M’ < M
b) M’ = M
c) M < M’ < 2M
d) M’ > 2M

Resolução:

Tomando o ponto P como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:

P_haste.(L/2) + Mg.2L = M’g.L => M’ = 2M + P_haste/2g

Portanto, M’ > 2M

Resposta: d   
Revisão/Ex 2:
(UFSM-RGS)
A figura representa uma barra homogênea em equilíbrio horizontal, de massa m e comprimento L, estando uma das extremidades articulada a uma parede. Na extremidade oposta, está suspenso um corpo de massa M, estando essa barra sustentada em sua metade por uma mola de constante elástica K. Nessa situação, a mola está distendida de:

a) (M/K).g
b) (2M/K).g
c) [(M+m)/K].g
d) [(2M+m)/K].g

Resolução:
Tomando a articulação  como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:
  
Mg.L + mg.(L/2) = Kx.(L/2) => x = (2M+m).g/K

Resposta: d
Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
A figura mostra um móbile constituído por duas barras de massas desprezíveis que sustentam os corpos A, B e C por fios ideais. Sendo a massa do corpo A 45 g, a massa do corpo C, que mantém o conjunto em equilíbrio na posição indicada, deve ser igual a:

a) 10 g.
b) 20 g.
c) 30 g.
d) 40 g.
e) 50 g.

Resolução:

m_B.g.30 = m_A.g.10 => m_B = m_A/3 = 15 gramas.
T = m_A.g + m_B.g = 60.g

T.20 = m_C.g.30 => 60.g.20 = m_C.g.30 => m_C = 40 gramas

Resposta: d  
Revisão/Ex 4:
(PUC-MG)
Na figura desta questão, um jovem de peso igual a 600 N corre por uma prancha homogênea, apoiada em A e articulada no apoio B. A prancha tem o peso de 900 N e mede 9,0 m. Ela não está presa em A e pode girar em torno de B. A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, é:

a) 1,75 m.
b) 2,00 m.
c) 2,25 m.
d) 2,50 m.

Resolução:
A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, corresponde ao instante em que a força normal em A torna-se nula.

Nestas condições, tomando o ponto B como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:

P_prancha x 1,5 = P_jovem x d => 900 x 1,5 = 600 x d => d = 2,25 m

Resposta: c

Revisão/Ex 5:
PUC-MG
Uma placa de publicidade, para ser colocada em local visível, foi afixada com uma barra homogênea e rígida e um fino cabo de aço à parede de um edifício, conforme ilustração.

Considerando-se a gravidade como 10 m/s², o peso da placa como 200 N, o comprimento da barra como 8 m, sua massa como 10 kg, a distância AC como 6 m e as demais massas desprezíveis, pode-se afirmar que a  força de tração sobre o cabo de aço tem intensidade:

a) 417 N
b) 870 N
c) 300 N
d) 1200 N

Resolução:

Tomando o ponto A como referência:

M_Pplaca + M_Pbarra = M_T.senB => 200.8 + 100.4  = T.(6/10).8 => 
1600 + 400 = T.4,8 => T = 2000/4,8 => T = 416,66 N => T ≅ 417 N

Resposta: a