MÓDULO 1 – M.R.U. E VELOCIDADE MÉDIA
01. (OBF-2002) Jogadores de futebol com chute forte conseguem chutar a bola, na cobrança de uma falta, com
velocidade constante de até 108 km/h. Supondo que a falta é cobrada nas proximidades da grande área, a uma
distância de 20 m do gol, e que a bola vá rente ao gramado, o tempo aproximado que a bola demora para chegar
ao gol é de:
a) 1min b) 0,01s c) 6s d) 3,14s e) 0,67s
V= ΔS/Δt Δt = ΔS/V = 20/30 = 0,67 s.
2. (OBF-2006) Uma lombada eletrônica, utilizada para controlar a velocidade dos veículos, funciona basicamente da seguinte maneira: na rua, há dois sensores, separados por uma distância conhecida, que são acionados pela passagem do veículo sobre eles. O primeiro sensor inicia a marcação de tempo gasto para percorrer essa distância conhecida e o segundo a finaliza. Uma vez determinado o intervalo de tempo e como o deslocamento é conhecido, um circuito eletrônico calcula a velocidade do veículo. Se a velocidade ultrapassar o limite permitido, um dispositivo registra a imagem do veículo. De acordo com a legislação de trânsito, as multas por excesso de velocidade são emitidas quando o veículo supera em 10%, no mínimo, o valor máximo permitido para a velocidade.
Numa dessas lombadas eletrônicas, em que a velocidade máxima permitida é de 60 km/h e a distância entre os
sensores é de 1,0 m, dois veículos, A e B, tiveram seus tempos registrados. Para o veículo A o registro foi 0,05s
e, para o veículo B, 0,1s.
Assinale a afirmativa correta:
a) A velocidade do veículo A é igual a 20 km/h e seu condutor não será multado.
b) Somente o veículo A ultrapassou o limite de velocidade e seu condutor será multado.
c) Somente o veículo B ultrapassou o limite de velocidade e seu condutor será multado.
d) A velocidade do veículo B é igual a 10 km/h e seu condutor não será multado.
e) Ambos os veículos ultrapassaram o limite de velocidade e seus condutores serão multados.
veículo A: VA = ΔS/Δt = 1/0,05 = 20 m/s ou 72 km/h.
veículo B: VB = ΔS/Δt = 1/0,1 = 10 m/s ou 36 km/h.
Logo, somente o veículo A ultrapassa o limite de velocidade tolerável (66 km/h) e conseqüentemente seu condutor será multado.
3. (OBF-2005) Um avião parte de uma cidade A para outra cidade B, mantendo a velocidade constante igual a 250 km/h. Ao alcançar metade do caminho é forçado a diminuir a velocidade, mantendo-a constante em 200 km/h; conseqüentemente, chega ao destino com 15 minutos de atraso. Considerando que o tempo de mudança de velocidade é desprezível, qual a distância entre as cidades A e B?
O tempo de viagem previsto pode ser representado por: Δt = ΔSAB/250.
Já o tempo total realizado: Δt’ = .
Considerando o atraso citado é válida a reação: Δt’ = Δt + (1/4).
Logo, a distância entre as cidades fica determinada: (ΔSAB/500) + (ΔSAB/400) = (ΔSAB/250) + 1/4, então ΔSAB = 500 km.
4. (OBF-2004) Você e um amigo combinaram viajar juntos para uma estância que fica a 200 km de distância. Devido a imprevistos, você se atrasou e, na saída, telefona para seu amigo e verifica que ele está 20 km a sua frente. Combinam, então, que ele viajaria a 70 km/h e você a 80 km/h, até se encontrarem. Supondo que essas velocidades sejam mantidas, o encontro ocorrerá
a) em 15 minutos.
b) em 2 horas.
c) após você andar 180 km.
d) na estrada da estância.
e) a 60 km da estância.
SA = SB 20 + 70t = 80t tE = 2h e ainda: SE = 160 km O encontro ocorre em 2 horas, após você ter andado 160 km, ou seja a 40 km da estância.
5. (OBF-2005) O gráfico da figura a seguir representa o movimento de dois corpos A e B que se movem ao longo de uma reta. Assinale a alternativa correta:
a) A e B partem do mesmo ponto.
b) B parte antes de A.
c) A velocidade de B é o triplo da de A.
d) A velocidade de A é o triplo da de B.
e) A e B podem se cruzar várias vezes durante o percurso.
VA = (3 – 1)/2 = 1 m/s e VB = 3/(2 – 1) = 3 m/s, logo VB = 3.VA. E ainda, dadas as circunstâncias, o móvel B ultrapassa o móvel A no instante 2s e na posição 3m.
06. (OBF-2002) Os aviões da ponte aérea Rio - São Paulo percorrem a distância entre as cidades, de 400 km, em 40 minutos A velocidade média destes aviões neste trajeto é de
a) 10 km/h. b) 1600 km/h. c) 400 km/h. d) 40 km/h. e) 600 km/h.
V= ΔS/Δt = 400/(40/60) = 24000/40 km/h = 600 km/h.
07. (OBF-2003) Um trem percorre uma distância S em linha reta. Na primeira metade do tempo total gasto, a velocidade permaneceu constante e com módulo V1 e, na segunda metade de tempo, a velocidade permaneceu também constante e com módulo V2.
a) Qual é a velocidade média do trem no percurso?
b) Faça um esboço do gráfico da posição em função do tempo gasto pelo trem durante o percurso.
a) VM = (S1 + S2)/t = (t1.V1 + t2.V2)/t. Como t1 = t2 = t/2, vem que: VM = (V1 + V2)/2.
b) Esboço do gráfico:
08. (OBF-2003) O gráfico abaixo representa o deslocamento de um móvel num intervalo de tempo de 0 a 100 segundos. Quais são as velocidades respectivas deste móvel nos instantes: i) 0 – 30 s; ii) 30 – 60 s e iii) 60 – 100 s?
a) 2 m/s; 0; –1 m/s. b) 1 m/s; 0; –2 m/s. c) – 2m/s; 0; 1 m/s. d) 0; –1 m/s; 2 m/s. e) 0; 2 m/s; –1 m/s.
V1 = ΔS1/Δt1 = 60/30 = 2 m/s; V2 = 0 e V3 = ΔS3/Δt3 = –40/40 = – 1 m/s.
09. (OBF-2000) O gráfico ilustra a forma como variar as posições de um móvel que se desloca numa trajetória retilínea. A equação horária deste movimento é:
a) s = 12.t. b) s = 6.t. c) s = 120 – 6.t. d) s = 120.t. e) s = 20 – 120.t.
V = (0 – 120)/20 = - 6 m/s e S = S0 + V.t = 120 – 6t.
10. (OBF-99) As observações mostram que o nível do mar está aumentando, em média, à velocidade de 1,5 mm/ano.
a) Após quantos anos o nível do mar estará 2,4 metros acima do nível atual?
b) Qual a origem da água responsável pelo aumento do nível do mar?
a) Δt = ΔS/Vmédia = (2,4 m)/(1,5 mm/ano) = (2,4 m)/(1,5.10-3 m/ano) = 1600 anos = 16 séculos.
b) Das geleiras que se fundem com o aumento de temperatura da Terra.
11. (OBF-2007) Um adolescente de altura h caminha, com velocidade constante V, em um corredor reto e passa sob uma lâmpada pendurada a uma altura H acima do solo. Determine a velocidade da sombra da cabeça do adolescente no solo.
Sejam X e X0, as posições do rapaz nos instantes t e t = 0, respectivamente. As posições da sombra nesses instantes são designadas por S e S0. (veja figura)
Do triângulo OAB obtemos cotgθ1 = S0/H ⇒ S0 = H.cotθ1. (1)
Analogamente, do triângulo OAC, obtemos S = H.cotθ2. (2)
Do triângulo BDE obtemos cotgθ1 = (S0 – X0)/h.
Substituindo esta expressão em (1) obtemos: S0 = H.(S0 – X0)/h, o que resulta em S0 = H.X0/(H – h). (3)
Fazendo os mesmos cálculos para o triângulo CFG e a expressão (2) obtemos: S = H.X/(H – h). (4)
Assim, de (3) e (4) chegamos a: S – S0 = H.(X – X0)/(H – h).
Como o rapaz caminha com velocidade constante , a equação horária que descreve seu movimento é: X = X0 + V.t, de modo que X – X0 = V.t.
O movimento da sombra será, portanto, descrito pela equação S = S0 + .V.t, que varia linearmente com o tempo. Assim, este movimento também é retilíneo e uniforme com velocidade. VS = .V.
Ou :
Seja VE a velocidade da sombra e V a velocidade do homem, temos:
Da semelhança dos triângulos LAB e LEC, temos: H/EC = (H – h)/AB H/VE.t = (H – h)/V.t VE = H.V/(H – h).
12. (OBF-2007) O planeta Terra gira em torno de um eixo imaginário em 24 horas. Sabendo que o raio da Terra no equador é da ordem de 6,4.103 km, qual é a velocidade média de um objeto no equador pi (π) = 3?
a) 1,3.103 km/h b) 1,5.103 km/h c) 1,6.103 km/h d) 1,8.103 km/h e) 1,9.103 km/h
V = ΔS/Δt = 2πR/Δt = 2.3. 6,4.103/24 = 1,6.103 km/h.
13. (OBF-2007) O Planeta Terra gira em torno do Sol – sistema heliocêntrico – realizando uma volta completa em 365 dias e seis horas – movimento de translação da Terra. Kepler observou que as órbitas dos planetas em torno do Sol são elípticas. No entanto, para o caso da Terra, iremos considerar este tipo de trajetória orbital um circulo com raio médio de 1,50 x 108 km (na realidade é quase um círculo). A velocidade média da Terra no movimento de translação é aproximadamente:
a) 4,0 x105 km/h. b) 2,0 x105 km/h. c) 1,5 x105 km/h. d) 3,0 x105 km/h. e) 1,0 x105 km/h.
V = ΔS/Δt = 2πR/Δt = 2.3. 1,5.108/(365.24 + 6) = 9.108/8766 = 1,026.105 km/h.
14.(OBF-2007) Os ritmos e periodicidades são anteriores à existência do homem na Terra. Aliás, os seres humanos (seres vivos) se adaptaram a eles. A Terra gira em torno de seu próprio eixo em um dia e leva um ano (365 dias e seis horas) para completar um ciclo em torno do Sol. Um outro ciclo usado é o mensal, originado do movimento de translação da Lua em torno da Terra. Esta translação está mostrada na figura1, onde a parte clara representa a face da Lua iluminada pelo Sol. http://www.physics.sjsu.edu/tomley/MoonPhase.html
Iniciando-se o ciclo mensal com a Lua Nova, quando ela estiver entre a Terra e o Sol, a face voltada para a Terra estará escura. Este evento ocorrerá no próximo dia 10, de acordo com o calendário lunar mensal da figura 2. Em pouco mais de uma semana, o movimento de translação da Lua irá alcançar a fase denominada Quarto Crescente (aproximadamente no dia 18). Na semana seguinte, quando a Lua e o Sol estiverem em lados opostos da Terra, a face da Lua da voltada para a Terra estará toda iluminada, tendo-se a chamada Lua Cheia (dia 25). Nas duas semanas seguintes, a iluminação da Lua irá minguando tendo-se, então a fase Quarto Minguante (tendo o auge em 1º de novembro), quando apenas meio disco da Lua receberá a luz Solar e, após o Minguante, a Lua chegará outra vez à sua Fase Nova (9 de novembro), quando não será mais vista no céu, fechando o ciclo.
As principais fases do ciclo lunar são, portanto: Nova, Quarto Crescente, Cheia e Quarto Minguante.
Considerando o tempo de revolução da Lua como 29 dias e 12 horas, e a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua igual a 384.000 km, pergunta-se:
a) Qual a velocidade média, em km/h, da Lua em relação à Terra?
V = ΔS/Δt = 2πR/Δt = 2.3,14. 384000/29,5.24 = 3406,1 km/h.
b) Em que fase a Lua se encontrará no dia 22 de dezembro, quando se estima publicar o resultado da OBF2007? Apresente o raciocínio integral na folha de resoluções e esboce que tipo de Lua será vista na Terra. Tome como base as fotos do Calendário Lunar no mês de outubro.
Para sabermos qual a fase da Lua no dia 22 de dezembro, devemos contar o número de dias a partir de uma data onde a fase da Lua é conhecida e lembrar ainda que o ciclo lunar é de 29,5 dias. Podemos fazer essa contagem a partir de qualquer data mas, como o calendário lunar de outubro foi fornecido na prova, é mais fácil fazê-la a partir de uma data onde a intensidade da luz refletida pela Lua é máxima (Lua completamente cheia). Observando este calendário, a data onde a intensidade é máxima ocorre no dia 25. Isto significa que dentro de 59 dias (= 29,5 x 2), contados a partir do dia 25, ocorrerá um máximo novamente. Lembrando que Outubro vai até o dia 31 (e, portanto, passam 6 dias após o dia 25) e Novembro até o dia 30, concluímos que a Lua completamente cheia de Dezembro ocorrerá no dia 23. Assim, a fase de 22 de dezembro é Lua cheia, um dia antes do máximo de intensidade. Mostramos abaixo, a título de ilustração, o calendário lunar de dezembro deste ano.
15. (OBF-2007) Um eclipse solar ocorre quando a Lua se coloca entre o Sol e a Terra projetando sua sombra na superfície do nosso planeta. Os astrônomos calculam com muita precisão, entre outras grandezas, o tempo de duração do eclipse numa determinada cidade.
Podemos ter uma idéia aproximada de como esse cálculo é feito, resolvendo o seguinte problema (figura abaixo): O Sol, encontrando-se a pino, produz um feixe de luz paralelo e perpendicular ao solo. Entre o Sol e uma estrada plana e retilínea voa um avião de 80 m de comprimento com velocidade de 540 km/h em relação ao solo. A sombra produzida pelo avião atinge, em um determinado instante, uma motocicleta que se move no mesmo sentido e com velocidade de 180 km/h. Durante quanto tempo a sombra permanece sobre a moto? Observação: uma das propriedades de luz paralela em incidência normal é formar sombra com o mesmo tamanho do objeto.
Suponha que no instante a sombra da parte frontal do avião atinja a motocicleta. t = 0 a sombra do avião atinja a motocicleta. A equação horária da moto, cuja velocidade é VM = 180 km/h = 50 m/s, será: XM = VM.t. Por outro lado, nesse instante, a sombra da parte traseira do avião se encontra a 80 m (para trás) da moto, de modo que a equação horária desta parte da sombra é: XT = - 80 + VA.t, onde VA = 540 km/h = 150 m/s é a velocidade do avião.
A sombra do avião permanecerá sobre a moto até o momento em que a parte traseira desta sombra alcançar a moto, isto é, quando XM = XT. Então: VM.t = - 80 + VA.t (VA – VM).t = 80 t = 80/(150 – 50) = 0,8 s.
16.(OBF-2007) Em muitos aeroportos e estações de trens são usadas esteiras rolantes horizontais para comodidade dos passageiros. Na estação Montparnasse de Paris, por exemplo, existe uma esteira rápida de 180 m que se desloca à velocidade de 9 km/h (= 2,5 m/s), velocidade três vezes maior que as esteiras comuns. Considere um aeroporto onde existem 2 esteiras de 200 m, uma paralela à outra, mas que se movimentam em sentidos opostos, cada qual transportando passageiros à velocidade de 1 m/s em relação ao solo. Suponha que três crianças, André, Bruno e Camila queiram apostar uma corrida com ponto de partida no inicio dessas esteiras. André corre sobre o solo enquanto Bruno e Camila correm sobre cada uma das esteiras, sendo o movimento de Camila de sentido contrário ao da esteira. As constituições físicas das crianças são semelhantes de forma que a cada passo é percorrida uma distância de 50 cm. Quantos passos por segundo devem dar cada criança para que, após um tempo de 100 s, elas cheguem simultaneamente no fim das esteiras?
Para percorrer a distância de 200 m em 100 s é necessário que as crianças tenham, em relação ao solo,
uma velocidade de: V = 200/100 = 2 m/s. Assim, André, que corre no solo, deve ter essa velocidade para vencer o percurso nesse tempo. Como ele dá 1 passo para percorrer 50 cm, logo para percorrer 2 metros em 1 segundo será necessário dar 4 passos em 1 segundo. Sua velocidade será VA = 4 passos/s.
Como Bruno está sobre a esteira que se movimenta no mesmo sentido da corrida, logo ele deve ter uma
velocidade vB em relação à esteira de maneira que sua velocidade em relação ao solo deverá ser:
V = VB + VE , onde VE =1m/s é a velocidade da esteira em relação ao solo. Logo VB = V – VE = (2 −1) m/s =1 m/s. Assim, lembrando que cada passo corresponde à 50 cm, sua velocidade deverá ser : VB = 2 passos/s.
Camila deverá ter uma velocidade VC em relação à esteira, de modo que V = VC – VE , pois ela se movimenta em sentido oposto à ela. Assim, VC = V + VE = 3 m/s, o que corresponde a VC = 6 passos/s.
17. (OBF-2001) Dois automóveis trafegam ao longo de uma estrada horizontal e retilínea. Sejam L e λ os comprimentos dos automóveis, com módulos das velocidades constantes respectivamente iguais a V e v. Na situação 1 (ver figura), os automóveis movem-se no mesmo sentido. Na situação 2, os automóveis movem-se em sentidos opostos. Supondo que V > v, calcule quanto tempo dura a passagem de um automóvel pelo outro:
a) na situação 1;
b) na situação 2.
Em um MRU a posição s(t) do móvel é dada por s(t) = s0 + v.t, onde s0 é a posição inicial , v é a velocidade constante e t é o tempo. Portanto, t = ΔS/v. Em ambas situações, o espaço percorrido ΔS é a soma dos comprimentos dos carros L + λ, e a velocidade a ser considerada deve ser a velocidade relativa entre os carros, ou seja: a) na situação 1, a velocidade relativa é a diferença das velocidades V – v, já que os carros deslocam-se no mesmo sentido; b) na situação 2, a velocidade relativa é a soma das velocidades V + v, pois os carros movimentam-se em sentidos opostos. Assim, tem-se:
Situação 1: Δt = (L + λ) / (V – v).
Situação 2: Δt = (L + λ) / (V + v).
18. (OBF-2001) Uma escada rolante tem comprimento L = 10 m, velocidade descendente de módulo constante Ve = 0,5 m/s e inclinação θ = 30o com a horizontal. A base da escada encontra-se a uma distância horizontal D = 30 m de uma parede vertical bastante alta. No instante t = 0, uma lâmpada acesa de dimensões desprezíveis é colocada no degrau mais alto da escada, como ilustrado na figura a seguir. Nesse mesmo instante, um menino de altura H = 1 m, a uma distância horizontal s0 da parede, caminha em direção à base da escada com velocidade de módulo constante Vm = 0,85 m/s. Calcule o comprimento vertical da sombra do menino na parede:
a) quando a lâmpada atingir a base da escada, sabendo que s0 = 3 m;
b) quando t = 4 s, sabendo que s0 = 0,4×( − 1) m.
a) A figura a seguir ilustra o instante em que a lâmpada (de dimensões desprezíveis) atinge a base da escada:
Por semelhança de triângulos, pode-se escrever que:
Y(t) /D = H /[D − s(t)],
onde Y(t) representa o comprimento vertical da sombra do menino na parede no instante t e s(t) denota a
distância horizontal do menino à parede, isto é, s(t) = s0 + Vm.t.
Em particular, a lâmpada atingirá a base da escada no instante: t = L/Ve = 10/0,5 = 20 s,
que, para s0 = 3 m, leva a s(t) = 20 m. Este resultado, substituído na equação para Y(t) juntamente com D =
30 m e H = 1 m, implica em: Y(t = 20) = 3 m. A resposta do item (a) é Y = 3 m.
b) A resolução é semelhante à do item a). Entretanto, no instante t = 4 s (antes de 20 s, portanto) a lâmpada se
encontra sob um degrau da escada numa altura acima de sua base, como mostra a figura a seguir:
Por semelhança de triângulos, tem-se:
[h(t) − Y(t)] / [x(t) + D] = [H − Y(t)] / s(t),
onde, a partir da figura, pode-se deduzir que:
h(t) = (L − Ve t) sen(θ) = 4 m,
x(t) = (L − Ve t) cos(θ) = 4√3 m,
s(t) = s0 + Vmt = 0,4√3 + 3 m,
uma vez que s0 = 0,4 (√3 − 1) m, L = 10 m, Ve = 0,5 m/s, Vm = 0,85 m/s, t = 4 s e θ = 30o. Assim,
Y(t = 4) = [H(x + D) – s h] /(x + D – s) = (2,4√3 + 18) / (3,6√3 + 27) = 2 /3 = 0,66... m.
A resposta do item (b) é Y = 0,66 m.
19. (OBF-2002) O planeta Terra gira em torno do Sol completando uma volta em 1 ano (3 x 107 s).
Supondo que seu movimento se dê numa órbita circular de raio r = 1,5 x 108 km, com velocidade de módulo constante, a velocidade linear da Terra neste movimento é de
a) 10 m/s. b) 300 m/s. c) 30 km/s. d) 300.000 km/s. e) zero.
V= ΔS/Δt = 2πR/Δt = 2.3.1,5.108/3.107 = 30 km/s.
20. (OBF-2003) Um trem percorre a distância entre A e B com velocidade constante de 60 km/h, e retorna de B para A com velocidade constante de 80 km/h. Qual a velocidade média do trem considerando-se a ida e a volta.
a) 70 km/h. b) 67,85km/h. c) 68,57 km/h. d) 65 km/h. e) 75 km/h.
ΔS = V.Δt, logo:
ida S1 = V1.t1 t1 = d/60.
ida
volta S2 = V2.t2 t2 = d/80.
Distância total ΔS = 2d.
Tempo total Δt = t1 + t2 = d/60 + d/80.
Vm = ΔS/Δt = 2d/(d/60 + d/80) = 2.60.80/(80 + 60) = 9600/140 = 68,57 km/h.
Tempo total
Vm = ΔS/Δt = 2d/(d/60 + d/80) = 2.60.80/(80 + 60) = 9600/140 = 68,57 km/h.
21. (OBF-2003) O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão numa rodovia como função do tempo. O caminhão inicia sua viagem numa cidade A situada a 40 km do início desta rodovia, chegando até à cidade B.
a) Qual a velocidade média do caminhão durante o percurso entre A e B?
b) Faça um esboço do gráfico da velocidade com função do tempo para o caminhão, durante o percurso entre A e B.
a) Vm = (S – S0)/Δt = (205 – 40)/5 = 33 km/h = 9,16 m/s.
b)
22. (OBF-2003) Um ciclista está viajando numa região montanhosa. Durante a subida de uma montanha, sua velocidade, em módulo, permaneceu constante e igual a 8 km/h. Durante a descida a velocidade também permaneceu constante e com módulo igual a 30 km/h. Qual a sua velocidade média, se os percursos de subida e descida têm a mesma extensão?
Vm = ΔS/Δt = 2d/(d/8 + d/30) = 2.8.30/(30 + 8) = 480/38 = 12,6 km/h = 3,5 m/s.
23. (OBF-2004) A figura abaixo representa quarteirões de 100 m de comprimento de uma certa cidade e os veículos A e B, que se movem com velocidades de 43,2 km/h e 57,6 km/h, respectivamente, a partir dos pontos ali representados, no momento inicial.
Calcule o instante em que a distância entre os dois carros será mínima e de quanto ela será?
vA = 43,2 km/h = 12 m/s; vB = 57,6 km/h = 16 m/s
Posição do veículo A: xA = 12.t; yA = 300.
Posição do veículo B: xB = 400; yB = 16.t .
Distância ao quadrado entre os dois veículos:
d 2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = (12t – 400)2 + (300 – 16t)2 = 400t 2 – 19200t + 250000
A distância d será mínima no mínimo da parábola: tmin = - b/2a = 19200/800 = 24 s.
Distância mínima: dmin = 10. = 140 m.
24.(OBF-2005) Um atirador encontra-se sobre um vagão de um trem que se movimenta com velocidade constante v em relação ao solo. Ele está localizado exatamente no meio do vagão de comprimento 2L e tem uma pistola em cada mão. No instante que o atirador cruza com um observador localizado no solo, ele dispara simultaneamente as pistolas, uma sobre um alvo que se situa exatamente na frente (F) e a outra sobre um alvo que se encontra na parte traseira (T) do vagão. O observador no solo mede as velocidades uF e uT das balas que vão para frente e para trás do vagão, bem como os tempos ΔtF e ΔtT gastos para atingirem os alvos. Este observador sabe que as velocidades das balas, em um referencial onde as pistolas estão em repouso, são iguais e valem u. Levando-se em conta a lei de adição de velocidades, demonstre matematicamente que ΔtF = ΔtT = ΔtL, onde ΔtL é o tempo medido pelo próprio atirador, para as balas atingirem tanto o alvo frontal, quanto o traseiro.
Após um tempo ΔtF o observador no solo nota que o alvo da frente se deslocou uma distância ΔS = v.ΔtF para frente. Conseqüentemente, para ele, a bala deve percorrer uma distância (L+ v.ΔtF) até atingir o alvo. Assim:
• Para o alvo da frente ΔtF = (L+ v.ΔtF)/uF.
Para o alvo traseiro, a bala deve percorrer uma distância (L − v.ΔtF), segundo o observador no solo. Assim
• ΔtT = (L − v.ΔtT)/uT → ΔtT = L/(uT + v). Como uT = u − v, logo ΔtT = L/u.
Para o atirador, a distância percorrida pela bala é L, tanto para o alvo da frente quanto o traseiro. Deste modo: ΔtA = L/u.
25.(OBF-2006) As aulas de um colégio têm início às 7h 30min, todos os dias. Num determinado dia o relógio apresentou um mau funcionamento e o sinal de término soou às 13h 15min 20s. A duração das aulas neste dia no colégio foi:
a) 6h 15min 20s. b) 6h 45min 20s. c) Exatamente 6h. d) 5h 45min 40s. e) 5h 45min 20s.
Δt = 13h 15min 20s − 7h 30min = 5h 45min 20s.
26.(OBF-2006) Um móvel vai de um ponto A até um ponto B, distante 100 km, em 2 h, e do ponto B ao ponto C distante 140 km, sendo a velocidade média de A à C de 48 km/h. Qual o tempo gasto de B à C.
a) 1h. b) 2h. c) 3h. d) 4h. e) 5h.
VAB = ΔSAB/tAB = 100/2 = 50 km/h e VAC = ΔSAC/tAC tAC = ΔSAC/ VAC = (100 + 140)/48 = 240/48 = 5 h.
tAC = tAB + tBC tBC = 5 – 2 = 3h.
27. (OBF-2006) Um corpo em movimento uniforme pode ser descrito pela função horária: s(t) = 4t, onde s representa a posição do corpo e t o tempo, ambos medidos em unidades do sistema internacional (metros e segundos). Assinale qual das alternativas abaixo melhor representa o movimento do corpo descrito pela equação horária anterior.
a) o corpo parte (t = 0) da origem (s = 0) da trajetória.
b) a velocidade média do corpo é de 4 m/s.
c) em t = 2s o corpo está a 8 m da origem.
d) em t = 4s o corpo está a 16 m da origem.
e) todas as alternativas anteriores estão corretas.
s(0) = 4.0 = 0; s(2) = 4.2 = 8 m; s(4) = 4.4 = 16 m e a velocidade é constante e igual a 4 m/s.
28. (OBF-2006) Um carro de corrida percorre uma pista que tem o formato de um quadrado com 12 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade escalar média de 120 km/h, o segundo e o terceiro a 240 km/h e o quarto a 120 km/h. Qual a velocidade média do carro ao percorrer o perímetro do quadrado:
a) 100 km/h. b) 150 km/h. c) 200 km/h. d) 160 km/h. e) 125 km/h.
V = (S1 + S2 + S3 + S4)/(S1/V1 + S2/V2 + S3/V3 + S4/V4) = (12 + 12 + 12 + 12)/(12/120 + 12/240 + 12/240 + 12/120) = 48/(3/10) = 48.10/3 = 160 km/h.
29. (OBF-2006) Dois automóveis A e B, ambos com movimento uniforme, percorrem uma trajetória
retilínea conforme mostra a figura a seguir. Em t = 0 s, suas posições na trajetória são respectivamente A e B. As velocidades escalares no mesmo sentido são respectivamente VA = 50 m/s e VB = 30 m/s. Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos dois automóveis?
a) 200 m. b) 225 m. c) 250 m. d) 300 m. e) 350 m .
SA = SB 50 + 50t = 150 + 30t 20t = 100 t = 5 s. Então: S = 50 + 50.t = 50 + 50.5 = 300 m.
30. (OBF-2006) Um trem de carga de 240 m de comprimento, que tem a velocidade constante de 20 m/s, gasta 30 s para atravessar completamente um túnel. O comprimento do túnel é de:
a) 160 m. b) 200 m. c) 240 m. d) 300 m. e) 360 m.
V = (L + X)/∆t 20 = (240 + X)/30 240 + X = 600 X = 600 – 240 = 360 m.
31. (OBF-2006) Dois ciclistas, A e B, movimentam-se sobre uma mesma pista retilínea e plana, conforme está descrito pelas retas no gráfico a seguir:
Assinale a alternativa correta com relação à interpretação do gráfico anterior.
a) Os ciclistas se deslocam em movimento uniforme.
b) Os dois ciclistas nunca se encontram durante o trajeto.
c) A velocidade do ciclista B é maior que a velocidade do ciclista A.
d) A velocidade do ciclista A é menor que a velocidade do ciclista B.
e) Ambos se deslocam com movimento uniformemente acelerado.
Como o gráfico é uma reta inclinada e do tipo S x t, então temos um M.R.U.
VA = 160/8 = 20 m/s e VB = 100/5 = 20 m/s. Em t = 5 s os corpos se encontram e na posição 100 m.
32.(OBF-2006) Os primeiros filmes produzidos em película cinematográfica (fita de material plástico fotográfico) eram formados a partir de uma série de fotografias individuais projetadas a uma razão de 24 imagens por segundo. A esta taxa de repetição o movimento para um ser humano parece contínuo devido ao
tempo de retenção de uma imagem na retina humana. Com base nestas informações responda às questões abaixo:
a) Durante a projeção de um filme em película com duração de 30 segundos, quantos quadros serão projetados?
b) Um cineasta, desejando filmar o desabrochar de uma flor, cuja duração é de aproximadamente 6 horas, tem a intenção de apresentar esse fenômeno num filme de 10 minutos de duração. Quantas fotografias individuais do desabrochar da flor devem ser tiradas?
c) De quanto em quanto tempo o cineasta deve tirar uma foto, nas 6 horas de filmagem, para obter os 10 minutos de projeção?
O número de quadros exibidos por segundo é de N = 24 fotos/s.
a) Para um filme de 30 segundos teremos: Total = 24x30 = 720 quadros
b) Para um filme de 10 minutos, o número de quadros será de: 10 min = 600 s, logo 600.24 = 14.400 quadros.
c) Para o desabrochar de uma flor, que demora 6 horas e que serão registrados num filme de 10 min, teremos:
6 horas = 21 600 s, então R = 21600/14400 = 1,5 foto /s.
Para que o desabrochar de uma flor seja registrado em 10 min. de filme serão necessárias três fotos a cada 2 s numa taxa de 1,5foto/s, ou então, uma foto tirada a cada 0,66 s.
O enunciado a seguir é utilizado como referência para as questões 33 e 34.
Uma das formas mais representativas de análise de movimentos é a gráfica. Um movimento representado num gráfico permite uma análise rápida de suas características gerais, bem como permite que sejam extraídas informações importantes sobre suas características. Um corpo permaneceu em movimento durante 100 s.
A posição do corpo num sistema de referência pré-determinado foi registrada a cada segundo. Após o final do
movimento os registros foram representados no gráfico abaixo. A partir das informações contidas no gráfico responda às questões 33 e 34.
33.(OBF-2006) Determine a partir do gráfico:
a) A posição do corpo no instante t = 30 s.
b) A velocidade média do corpo no intervalo de 0 a 60 s.
c) A velocidade média do corpo no intervalo de 60 a 100 s.
Análise gráfica I:
a) Posição no instante t = 30 s:
S =150m
b) Velocidade Média para no intervalo de 0 a 60s (Δt = 60 s):
V = ΔS/Δt = (200 – 0)/(60 – 0) = 10/3 = 3,33 m/s.
c) Velocidade média para o intervalo de 60 a 100 s (Δt = 40 s):
V = ΔS/Δt = (0 – 200)/(100 – 60) = – 5 m/s.
34.(OBF-2006) Escreva a equação horária que descreve o movimento do corpo nos intervalos de tempo abaixo
e indique qual é a classificação do movimento neste intervalo:
a) Entre 0 e 40 s.
b) Entre 40 e 60 s.
c) Entre 60 e 100 s.
Análise gráfica II:
Equação horária para o Movimento Uniforme: s = s0+ v.t, onde:
- s0 é o espaço inicial
- v é a velocidade média no intervalo
a) Para o intervalo de 0 a 40 s (movimento progressivo): s = 5.t
b) Para o intervalo de 40 a 60 s (o móvel está parado): s = 200
c) Para o intervalo de 60 a 100 s (o móvel esta retornando à origem): s = 500 – 5.t
35.(OBF-2006) Dois amigos resolvem fazer uma experiência para tentar medir a velocidade média de um
automóvel numa rodovia usando um cronômetro e um apito. Um dos amigos se posiciona num
ponto e o outro a uma certa distância a sua frente. Quando um automóvel passa pelo primeiro este
produz um sinal sonoro com o apito. Ao ouvir este sinal o outro amigo aciona o cronômetro que é
interrompido quando o automóvel passa a sua frente. Nas condições em que a experiência foi
realizada a velocidade do som no local era de 1000 km/h. Para calcular a velocidade média do carro
os amigos não levaram em conta o tempo que o sinal sonoro levou para chegar até o segundo
observador. Com esta suposição eles cometeram um erro na determinação da velocidade média do
automóvel. Sabendo que a velocidade média real do automóvel era de 100 km/h, determine o valor
relativo do erro cometido pelos amigos.
Consideremos que a distância entre os dois amigos seja representada pela letra d.
i – Após o toque do apito, o tempo para que o som chegue até a posição do segundo
amigo é de: tS = d/VS, onde VS é a velocidade do som.
ii – O tempo real que o carro demora para chegar até a posição do segundo amigo é: tC = d/VC,
onde VC é a velocidade real do carro.
iii – A velocidade aparente medida pelos amigos para o carro leva em consideração o tempo que o som do apito demorou em chegar ao segundo observador. Como função da velocidade real do carro VC e da velocidade do som vs a velocidade aparente medida para o carro VC’ será de: VC’ = d/(tC – tS) = d/(d/VC – d/VS) = VC.VS/(VS – VC)
que é maior que a velocidade real do carro porque o tempo aparente: tC – tS < tC.
iiii – O desvio relativo entre a velocidade medida pelo observador 2 e a velocidade real do carro
(chamado de erro relativo), será calculado como: erro = (VC’ – VC)/VC = VC /(VS – VC) = 1/9 = 0,11; ou seja, o erro é de aproximadamente 11% .
36.(OBF-2006) Pilotos militares realizam exercícios de tiro usando com alvo aviões controlados remotamente.
Num dos exercícios, os pilotos atiram com um canhão que dispara um projétil a cada intervalo de
tempo T na direção do alvo. Considerando que numa situação particular em que ambos os aviões
realizam o exercício voando a uma mesma altitude e em trajetória retilínea, determine qual será o
intervalo de tempo que os projéteis irão acertar o avião alvo. Considere como dados do problema: a
velocidade do avião V, a velocidade do projétil P (sendo que P > V) e a velocidade do alvo H.
A distância entre projéteis consecutivos lançados pelo avião de caça é a mesma para um observador no avião e/ou no avião denominado de alvo. Consideremos esta distância como sendo representada pela letra d.
1 - Em relação ao caça o período (o tempo entre um lançamento e outro) dos projéteis será representado pela letra T. A velocidade relativa entre os projéteis é representada por (P – V). Então a distância entre os projéteis que são lançados pelo caça será de: d = (P − V).T
2 – Em relação ao alvo o período (o tempo em que dois projéteis consecutivos atingem o alvo) dos projéteis será representado por T’. A velocidade relativa entre os projéteis e o alvo é (P – H), então a distância entre os projéteis que chegam ao alvo será de: d = (P − H).T’.
Como a distância entre os projéteis é a mesma, ficamos com: (P −V ).T = (P − H).T' ou seja, T’ = (P −V ).T/(P − H).
37. (OBF-2006) Estando em uma trajetória retilínea, um móvel tem as suas posições “x” assinaladas ao longo do tempo “t” no diagrama representado. Entre 0 s e 10 s é possível afirmar que o módulo de sua velocidade média, em m /s, vale:
a) 0,8 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,3 e) 0,2
38. (OBF 2008) No seu movimento de translação, a Terra se movimenta em torno do Sol com uma velocidade
média de 30,0 km/s. Esta velocidade, em km/h, é igual a:
a) 1,08.106. b) 1,08.102. c) 1,08.103. d) 1,08.105. e) 1,08.104.
V = 30 km/(1/3600) = 10 800 km/h = 1,08.104.
39.(OBF-2008) A estrada que liga duas cidades tem marcos quilométricos cuja contagem se inicia na cidade de Santo Anjo e que terminam, 70 km adiante, na cidade de São Basílio. Antônio (A) sai de bicicleta da cidade de Santo Anjo com destino a São Basílio e Benedito (B), um outro ciclista, parte de São Basílio, pela mesma estrada, em sentido oposto. O diagrama foi construído para representar a “quilometragem” de cada um deles para as “horas” de viagem.
Com estes elementos são feitas algumas observações:
I – Os dois não iniciaram seus movimentos ao mesmo instante.
II- Benedito não chegou em Santo Anjo.
III- A maior velocidade desenvolvida em algum trecho do percurso foi próxima a 17 km/h, conseguida por Benedito.
IV- Antônio estava parado quando Benedito passou por ele.
Apenas estão corretas as observações:
a) I e IV. b) II e IV. c) I e III. d) II e III. e) I, II e IV.
I. Ambos partem de t = 0 s.
II. ΔSB = = 50 m, logo não atingindo a distância de 70 km, que é o percurso de uma cidade a outra.
III. Analisando o gráfico para o Benedito temos: No intervalo de 0 a 1s a velocidade é nula pois ΔS = 0; entre 1s e 4s, temos: V = (20 – 70)/(4 – 1) = – 50/3 = – 16,6 km/h e de 4s adiante a velocidade é nula pois ΔS = 0. Conclui-se que Benedito nunca atingiu a velocidade 17 km/h.
IV. No intervalo de 2s a 4s Antônio se encontra parado e já percorrido 40 km do seu destino, enquanto Benedito percorre 50 km do seu destino.
40.(OBF-2008) Viajando entre duas cidades, usualmente um veículo gasta 2 horas e meia para ir de uma a outra
mantendo uma velocidade média de 90 km/h. Num dia de tráfego mais intenso esse percurso demorou 3 horas. Neste caso, a velocidade média do veículo, em km/h, foi igual a:
a) 70 . b) 68. c) 75. d) 80. e) 85.
V1.Δt1 = V1.Δt1 90.2,5 = V2.3 V2 = 30.2,5 = 75 km/h.
41.(OBF-2008) João Antônio foi aconselhado por seu médico a andar 2000 m todos os dias. Como o tempo estava chuvoso e não desejando deixar de realizar a caminhada diária, ele resolveu ir para uma academia que possuísse uma esteira rolante.
a) No caso da esteira movimentar-se com uma velocidade de 4,0 m/s, quanto tempo, em minutos e segundos, serão necessários para cumprir a recomendação médica?
b) Considerando o comprimento de cada passo igual a 80 cm, quantos passos ele dará em 1 segundo e no percurso total?
a) Δt = ΔS/V = 2000/4 = 500 s.
1 minuto possui 60 s, portanto, dos 500 s temos: 8 minutos (equivale a 480 s) e sobram 20 segundos.
O tempo solicitado será de 8 minutos e 20 segundos.
b) A cada segundo ele anda 4,0 m, ou seja, 400 cm. Cada passo sendo igual a 80 cm, ele dará
portanto 400/80 = 5 passos em um segundo.
Considerando que ele executa 5 passos por segundo e leva 500 segundos em movimento, então 500x5 =
2500 passos.
Ou então, considerando que o percurso total a ser percorrido é de 2000 m e o comprimento de cada passo
é de 80 cm (0,8 m), então: 2000/0,8 = 2500 passos.
42.(OBF-2008) As posições de dois blocos fotografados a cada 0,2 segundo são representadas na figura 2. Os blocos estão em movimento para a direita.
a) Qual o intervalo de tempo decorrido a partir da primeira imagem fotografada até o momento que a frente do bloco B encontra com o fundo do bloco A?
b) Para um observador que se encontra no bloco B, qual o módulo da velocidade e o sentido do movimento do bloco A?
a) Observa-se pelo desenho do enunciado que os blocos se encontram na 5ª imagem dos blocos.
O intervalo entre cada imagem é de 0,2 s. Como existem quatro intervalos entre elas, a duração foi
de Δt = 4×0,2 = 0,8 s .
b) De acordo com a escala fornecida e a imagem do bloco A em movimento, concluímos que ele
percorre 10 m no intervalo de 0,2 s. Portanto sua velocidade será igual a VA = 10/0,2 = 50 m/s;
A velocidade do bloco B: VB = 15/0,2 = 75 m/s.
Como suas velocidades são no mesmo sentido, um observador no bloco B observará o bloco A
movendo-se para a esquerda com velocidade igual a 25 m/s.
Um ciclista percorre um percurso plano em linha reta. A distância por ele percorrida em função do tempo
esta representada no gráfico a seguir.
Responda as questões de 43 a 46 usando os dados representados no gráfico acima.
43. (OBF-2009) Qual foi o deslocamento do ciclista em seu percurso de 20 horas:
a) 5 km b) 10 km c) 15 km d) 20 km e) 25 km
ΔS = 25 – 10 = 15 km
44. (OBF-2009) Qual foi a distância total percorrida pelo ciclista em seu percurso de 20 horas:
a) 10 km b) 50 km c) 60 km d) 85 km e) 95 km
d = (60 – 10) + = 50 + 35 = 85 km
45. (OBF-2009) Qual foi a velocidade média do ciclista no percurso de 20 horas:
a) 0,25 km/h b) 0,30 km/h c) 0,50 km/h d) 0,65 km/h e) 0,75 km/h
V = ΔS/Δt = 15/20 = 0,75 km/h
46. (OBF-2009) Qual a velocidade do ciclista no trecho compreendido entre o início t = 0 até t = 10 horas:
a) 5 km/h b) 4 km/h c) 3 km/h d) 2 km/h e) 1 km/h
V = ΔS/Δt = (60 – 10)/10 = 50/10 = 5 km/h
Um ciclista percorre um percurso plano em linha reta. A distância por ele percorrida em função do tempo
está representada no gráfico a seguir.
Responda as questões de 47 a 50 usando os dados contidos no gráfico acima.
47. (OBF-2009) Qual foi o deslocamento total do ciclista em seu percurso de 30 horas em relação ao ponto de partida:
a) 10 km b) 5 km c) -10 km d) -15 km e) 20 km
ΔS = 0 – 10 = – 10 km
48. (OBF-2009) Qual o valor que melhor representa velocidade média do ciclista durante as 30 horas do percurso:
a) 1 km/h b) - 0,33 km/h c) 0,50 km/h d) - 0,66 km/h e) 0,75 km/h
V = ΔS/Δt = – 10/30 = – 0,33 km/h
49. (OBF-2009) Qual foi a distância total percorrida pelo ciclista nas 30 horas de percurso:
a) 110 km b) 50 km c) 100 km d) -10 km e) 95 km
d = (60 – 10) + + = 50 + 45 + 15 = 110 km
50. (OBF-2009) Qual a velocidade do ciclista nas primeiras 10 horas do percurso:
a) 1 km/h b)2 km/h c) 3 km/h d) 4 km/h e) 5 km/h
V = ΔS/Δt = (60 – 10)/10 = 50/10 = 5 km/h
Considere o texto abaixo para a resolução das questões de 51 a 55.
Um estudante realizou de análise do movimento de uma formiga. Para coletar resultados ele utilizou um tubo transparente onde foram feitas marcas a cada 2 cm. Uma formiga foi introduzida numa das extremidades do tubo e quando ela passou pela primeira marca um cronômetro foi disparado tal que em t = 0 a formiga iniciou seu movimento no tubo. Durante certo período de tempo o estudante anotou a posição da formiga no tubo e o tempo transcorrido deste o disparo do cronômetro. Ao final ele representou seus resultados numa tabela, que esta transcrita abaixo:
Tempo (s)
|
Posição (cm)
|
0
|
0
|
5
|
2
|
12
|
4
|
16
|
6
|
20
|
8
|
25
|
10
|
40
|
8
|
50
|
6
|
Representação: segundos (s) e centímetros (cm).
51. (OBF-2010) Qual a posição do formiga no tempo t = 20 s?
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm
De acordo com a tabela podemos observar que, quando a formiga está no instante de tempo de 20 segundos, esta já tem se deslocado 8 cm.
52.(OBF-2010) Qual a velocidade média da formiga entre 0 e 20 s?
a) 0 b) 0,1 cm/s c) 0,2 cm/s d) 0,4 cm/s e) 0,6 cm/s
V = ΔS/Δt = 8/20 = 0,4 cm/s.
53.(OBF-2010) Qual a velocidade entre 25 e 50 s?
a) 1 cm/s b) – 0,16 cm/s c) 2 cm/s d) – 2 cm/s e) – 0,08 cm/s
V = ΔS/Δt = (6 – 10)/(50 – 25) = – 4/25 = – 0,16 cm/s.
54.(OBF-2010) Qual dos tempos indicados abaixo representa melhor o tempo em que a formiga inverteu o sentido do seu movimento?
a) 16 s b) 20 s c) 25 s d) 40 s e) 50 s
Podemos dizer que através de uma trajetória orientada a formiga percorre posições crescente no decorrer do tempo, ou seja, um movimento positivo de 0 a 25 s e a partir do instante de 25 s, começa seu movimento retrógrado, no sentido contrário à trajetória orientada.
55.(OBF-2010) Faça uma estimativa da posição da formiga para no tempo de 30 s?
a) 9 cm b) 5 cm c) 3 cm d) 2 cm e) 15 cm
Determinando a velocidade média entre os instantes de 25 s e 40 s, temos que:
V = ΔS/Δt = (8 – 10)/(40 – 25) = – 2/15 = – 0,13 cm/s.
Então, sabendo que a cada segundo a formiga volta 0,13 cm na trajetória. Então em 5 segundos ela terá percorrido uma distância dada por: S = 5.0,13 = 0,65 cm (no sentido oposto ao da trajetória orientada). Sendo 10 cm a posição no instante t = 25 s, temos: S(30) = 10cm – 0,65cm = 9,35 cm Sendo assim a estimativa de posição para o instante de 30 segundos é, aproximadamente, 9 cm.
56.(OBF-2010) Qual a velocidade orbital da Terra considerando que seu raio médio é de 150.000.000 km.
a) 10 km/s b) 10 km/h c) 30 km/s d) 30 km/h e) 50 m/s
V= ΔS/Δt = 2πR/Δt = 2.3.1,5.108/365.24.60.60 = 30 km/s.
